دپارتمان مهندسی مکانیک ایران

انجمن مهندسی مکانیک

انجمن تست های غیر مخرب

انجمن علمی مهندسی پزشکی

انجمن بیومکانیک

آموزش تعمیر تجهیزات پزشکی

آموزش تعمیرات تجهیزات پزشکی

دوره های مهندسی پزشکی

دوره های آموزشی مهندسی پزشکی

انجمن مهندسی پزشکی

آموزش تعمیر تجهیزات دندانپزشکی

آموزش بازرسی جوش

آموزش پایپینگ


             
FEM
نوشته شده توسط احسان ممنون   
شنبه ، 21 ارديبهشت 1392 ، 23:14

 

به طور كلی برای حل فیزیكی مسائل سه روش موجود است:

(Exact Solution) روش تحلیلی دقیق

(Numerical Solution) روش عددی دقیق

(Experimental Method) روش تجربی

در روش حل دقیق همان گونه كه از نام آن مشخص است، به محاسبة دقیق پارامتری معادلات دیفرانسیل حاكم بر میدانهای فیزیكی همچون میدان حرارتی، میدان تنش، میدان الكتریكی و میپردازند. در حالیكه در روش دوم به حل تقریبی و عددی این مسأله پرداخته میشود. روش تجربی یا آزمایشگاهی نیز با توجه به این كه برگرفته و مبتنی بر خود واقعیت است، روش مناسبی محسوب میشود. در این میان روش حل عددی كه روش اجزاء محدود(که به اختصار  FEM  نامیده میشود كه روشی است عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی و نیز حل انتگرال مي باشد) زیر مجموعه آن میباشد، جزء یكی از پر كاربردترین روشهای مو رد استفاده در حل مسائل مهندسی است از جمله مزیتهای حل عددی خصوصاً اجزاء محدود نسبت به روشهای دیگر به شرح زیر است:

ضعف عمده روش آزمایشگاهی پر هزینه و زمانگیر بودن آن میباشد. در حالیكه در روش حل عددی اینچنین نیست روش حل دقیق از تحلیل مدلهایی با هندسه پیچیده همچنین در اغلب مسائل غیر خطی خصوصاٌ در مواردی كه درجه غیر خطی بودن معادلات بالا باشد، عاجز است و تنها روشهای عددی خصوصاٌ روش اجزاء محدود دراین زمینه كارگشاست.

در مسائلی كه شرایط مرزی كمی پیچیده میشود نیز حل دقیق ناتوان است و تنها روشهای مرسوم عددی در حل این نوع مسائل به كار میرود وبا پیشرفت روز افزون سرعت كامپیوترها این روش بسیار با استفاده ازنرم افزار های كامپیوتری گوناگونی بسیار مناسبتر و مقرون به صرفه شد.

روش المان محدود (Finite Element Method) یک تکنیک محاسباتی برای یافتن حل عددی تقریبی معادلات دیفرانسیل پاره ای می باشد که امروزه کاربردهای فراوانی در صنعت یافته است.

 

در روش اجزاء محدود غالباٌ مسائل فیزیكی به كمك معادلات دیفرانسیل حاكم بر سیستم و با كمینه نمودن انرژی پتانسیل حل میشوند. روش كار بدین صورت است كه كل مدل هندسی به اجزاء كوچكتری به نام المان تقسیم میشود، هر المان خود دارای گرههایی است كه مقادیر ورودی(بارگذاری و شرایط مرزی) و خروجی (نتایج) به آنها اختصاص داده میشود .

اساس کار این روش یا حذف کامل معادلات دیفرانسیل یا ساده سازی آنها به معادلات دیفرانسیل معمولی، که با روشهای عددی مثل اویلر حل میشوند، میباشدزيرا همانطور که می دانید بسیاری از مسائل مهندسی همچون انتقال حرارت و مکانیک سیالات ارتعاشات و ... پس از مدل شدن تبدیل به یک معادله ی دیفرانسیلی پاره ای می شوند. که حل آنها به صورت جبری بسیار وقت گیر و پیچیده است

در حل معادلات دیفرانسیل جزئی مسئله مهم این است که به معادله سادهای که از نظر عددی پایداراست- به این معنا که خطا در دادههای اولیه و در حین حل آنقدر نباشد که به نتایج نا مفهوم منتهی شود- برسیم. روشهایی با مزایا و معایب مختلف برای این امر وجود دارد، که روش اجزاء محدود یکی از بهترین آنهاست. این روش درحل معادلات دیفرانسیل جزئی روی دامنههای پیچیده (مانند لولههای انتقال نفت) ، یا هنگامی که دامنه متغییر است، یا وقتی که دقت بالا در همه جای دامنه الزامی نیست و یا اگر نتایج همبستگی و یکنواختی کافی را ندارند، بسیار مفید میباشد. به عنوان مثال در شبیه سازی یک تصادف در قسمت جلوی ماشین، نیازی به دقت بالای نتایج در عقب ماشین نیست.

در حل معادلات دیفرانسیلی اولین چالش یافتن معادلاتی است که معادله ی اصلی را تقریب زده و از لحاظ عددی قابل اعتماد باشند.حتما از محاسبات عددی به خاطر دارید که وقتی داده ها را در چندین فرمول وارد و خارج می شوند در طی هر مرحله مقداری خطای آنها بالا می رود. و همیشه تلاش می شود همه ی فرمولها را یکباره به کار گیرند تا این مشکل کمتر خود را نشان دهد.بسیار پیش می آید که جواب نهایی عددی هیچ معنی و مفهوم درست و منطقی ندارد.

روشهای زیادی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل پاره ای وجود دارد و ریاضی دانان در این زمینه بیکار ننشسته اند.اما روشی که امروزه بیشتر از همه بکار گرفته شده و کاربرد آن در صنعت بیش از همیشه خود را نشان داده است روش المان محدود است که بسیاری از نرم افزار های تجزیه و تحلیل مهندسی همچون انسیس ،آباکوس و نسترن از آن بهره می برند

 

 

المان محدود امروزه کاربردهای فراوانی در شاخه های مختلف مهندسی پیدا کرده است. اگرچه در ابتدا برای محاسبات سازه ها از آن استفاده شد اما هم اکنون در محاسبات انتقال حرارت،مکانیک سیالات، ,(structures)  ... فواید خود را نشان داده است.

در ادامه چند روش از نحوه ی کارکرد المان محدود روی تیرها و خرپاها مورد بررسی قرار می گیرند:

برای اینکه هر جسم در روش المان محدود تحلیل شود ابتدا می بایست آن را به اجزای کوچکتری که المان(Element)  نامیده می شود تقسیم کنیم.این اجزا یا المانها، در تعداد نقاط محدودی به هم اتصال پیدا می کنند که به آنها گره (Node) گفته می شود.ما معادلات حاکم بر حرکت هر یک از نودها را بدست آورده و به صورت همزمان (چند معادله ی چند مجهولی) حل می کنیم و آخر با تحلیل جواب های عددی معادلات ، نتایج مورد نظر بدست می آیند.

با بدست آمدن حل عددی معادلات حاکم بر هریک از نودهای اطراف یک المان رفتار آن المان مشخص می شود و در آخر با کنار هم قرار دادن نتایج حاصل از همه ی المان ها رفتار یک سیستم فیزیکی تحت عملی خاص بدست می آید.

از آنجا که سیستم فیزیکی به المانها و گیره ها تقسیم می شود، همه ی بارها و اثرات خارجی (شرایط مرزی) نیز می بایست تبدیل به مقادیر گره ای و المانی شوند. نیروهای متمرکزی چون F بر یک نود اعمال می شوند اما نیروهای فشاری چون P به صورت مساوی به هر یک از نودهای محدوده ی اثر، اعمال خواهند شد. محدوده ی اتصالات ثابت مثل زمین که در شکل به صورت هاشور نمایش داده شده اند نیز دارای معادلات خاص برای جابجایی خواهند بود

از آنجا که این محاسبات عددی هستند و میزان خطای آنها بسیار مهم است باید گفت تا اینجا حداقل دو منبع خطا شکل گرفتند،اول اینکه حل در نظر گرفته شده با کمک المانها با مقادیر واقعی آن دقیقا مطابقت نمی کند. هر چه المان در نظر گرفته شده مناسبتر باشد ،میزان خطای محاسبات کمتر خواهد بود.خوشبختانه بسیاری از حل ها با کوچکتر کردن اندازه ی المان دقیقتر می شوند.اما همیشه اینگونه نخواهد بود. خطای بعدی ، میزان دقت معادله ی جبری است که ما ادعا می کنیم بر شرایط فیزیکی حاکم است. ما همیشه با در نظر گرفتن فرضیاتی ، معادله ی حاکم را ساده تر می کنیم و این خود مقداری خطا بوجود می آورد.باید به خاطر داشته باشیم حل

 

المانهای محدود به شدت به کامپیوتر و برنامه نویسی رایانه ای وابسته است و نباید شرایط حاکم بر رایانه ها و روش های بکار رفته در آنها برای انجام محاسبات را فراموش کنیم.

نرم افزارهای حل المان محدود موجود در بازار کتابخانه ای انواع المانها و معادلات حاکم بر این المانها را تهیه می کنند و با توجه به شی فیزیک که شما معرفی می کنیدآنها را کنار هم قرار داده و به صورت عددی حل می کنند. برای مواردی چون تیرها و خرپاها این معادلات با کمترین خطا در دسترس هستند.

در مواردی که سازه شامل ترک می­باشد، اگر بخواهیم از روش المان محدود استفاده کنیم، ناگزیریم که ناحیه ای که شامل ترک می باشد را با المان­های بسیار ریز مش بزنیم. این کار باعث بیشتر شدن محاسبات می­شود. برای اینکه مجبور به ریز کردن مش نباشیم می­توان از روش xfem استفاده کرد. این روش که چند سالی است که به کار می­رود و سال­های زیادی از بوجود آمدن آن نمی­گذرد، برای ترک روش مناسبی است. نرم­افزار abaqus نیز ترک را از این روش محاسبه می­کند

در اینجا به اختصار به روش المان محدود برای یک المان چهار گره­ای و روابط آن اشاره خواهد شد.

برای حل در این قسمت ما با استفاده از مفاهیم مربوطه ماتریس سختی را برای یک المان بدست آورده و در یک ماتریس کلی اسمبل می کنیم. شکل المان به صورت زیر است.

 
سامانه هوشمند ژورنال مقالات